假如咱们以1519年为分界线，回望在它之前和之后的500年间数学的开展，你会发现在1519年之前是简直惊涛骇浪的500年，鲜有新的数学呈现。在那段时刻，数学好像在全国际都陷入了一种阻滞状况，只要印度在代数和三角学范畴取得了一些严峻行进。
比较之下，1519年之后的这个500年里，数学呈现出了爆破式的增加，并且这种速度在21世纪好像在明显加速。能够说，曩昔的500年是现代数学的500年。那么在这500年的数学前史中，都发作了什么？这是咱们今日的主题。咱们将沿着四个要害的数学思维去回忆这500年（当然，不止四个， 还有许多巨大的数学思维在本文中并没有被提及）。
1.
假如说有哪个工作能够区分经典数学与现代数学，那便是对三次方程的求解了。这一工作意味着，数学家们的探究范畴总算逾越了古希腊人所做的全部。从那时起，代数为数学掀开了新的篇章，并在20世纪90年代抵达了高峰。
二次方程。
从悠远的古代开端，人们就知道二次方程的存在。二次方程的解对面积核算等问题十分重要。巴比伦人最早找到了它的解，而解的终究办法是由印度人发现的。
二次方程的一般解。
三次方程对体积的核算十分重要。相同，聪明而乐于考虑的巴比伦人也企图想要得出它的解。可是，求解三次方程是一项困难得多的应战。
三次方程。
巴比伦人没能得到一个终究的一般解，而是创造晰一个能够推导出近似解的列表。尽管也有像Omar Khayyam（1048-1131）这样的数学家曾求得过几许解，但无论是希腊人仍是后来的数学家，都无法推导出这个方程的代数解。
就这样，求解三次方程的难题就一向存在，无人能解。
直到1520年代，工作开端渐渐发作改动。那时，一位名为希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro，1465-1526）的意大利数学家找到了一般解法，初次解开了短少二次项的三次方程。
希皮奥内·德尔·费罗解开的三次方程。
之后，费罗把解法教授给了他的学生Fior。而简直就在同一时刻，另一位意大利数学家塔塔里亚（Tartaglia）也用一种一般解法找到了缺少一次项的三次方程的解。
塔塔利亚解开的三次方程。
风趣的是，这则三次方程的求解故事开端朝着一个十分戏剧化的方向打开：一开端，塔塔里亚将他的公式藏在了一篇诗篇傍边，他还与Fior进行了一次问题求解比赛，并且取得了终究的成功。接着，在一个名叫卡达诺（Cardano）的学者的劝诱下，塔塔里亚将成果告知了他。卡达诺向塔塔里亚立誓，一定会保存隐秘，不将成果走漏出去。可是实际却是，卡达诺先是从Fior那习得了他的成果，然后揭露了塔塔里亚的解法，在代数作品《大衍术》（Ars Magna）中，宣布了这一成果。这让塔塔里亚恼怒不已，至死都没有宽恕卡达诺。
尽管求解的故事颇具戏剧性，但终究咱们仍是成功地得到了这一巨大的成果。时至今日，三次方程的解依然很重要。例如，在核算机图形学中，许多曲线和形状都需求用三次方程来近似。是这些解让咱们能够核算出曲线何时会相交。
三次方程的解带来了许多重要的数学开展。例如更高阶的多项式方程是否可解便是其间的一个明显问题。很快，人们就解出了四次方程，但又再次卡在了五次方程的问题上。直到19世纪，挪威数学家阿贝尔（Abel，1802-1829）最早找到了解。
五次方程。
之后，伽罗瓦（Galois，便是那个21岁时死于决战的天才数学家）证明晰有些五次多项式是不能用阿贝尔的办法求解的。伽罗瓦的证明中包括了对满意不同根的对称性的寻觅，他将这一思维开展到研讨一组运算所需满意的一般对称性。现在，这门学科被称为群论，对咱们了解许多科学范畴中的对称性至关重要。
群伦与对称。
求解三次方程还带来了另一个重要成果，那便是它让人们认识到了了解复数的重要性。咱们能够经过研讨求解不同的数学问题来追溯数字的前史。
求解相似x+2=3这样的方程，咱们只需求天然数1,2,3……求解3x=2这样的方程，咱们就需求包括分数在内的有理数了。古希腊的数学家在研讨二次方程时就认识到，求解这类方程需求“开平方”，因而还需求创造新的数字。
这时，数学的前史开端发作风趣的改变。那时，人们知道√2的存在是有其几许合理性的，比方它是单位正方形对角线的长度，可是他们很难将这些数字放入有理数体系中的“空隙”中。直到19世纪，数列的“极限”概念有了坚实的根底，才让数学家们彻底乐于运用实数。
不过，实数并无法满意全部的三次方程求解，比方当遇到x? = -3这样的状况时，就还需求新的数字，让i?= -1。这便是咱们了解的虚数概念。假如界说a、b为实数，那么a + bi便是一个复数。
还记得上文说到的卡达诺吗？其实早在16世纪后期，他就与工程师邦贝利（Bombelli）一重用塔塔里亚的办法求解了三次方程和二次方程的复数解。
到了19世纪，高斯在《代数根本定理》中指出，全部多项式方程都可解，它们的解都能够表明为复数。这意味着，人们能够不用为了求解多项式方程而寻觅新的数字了。
可是，这并不意味着数学家应该中止创造新的数字体系。例 如，汉密尔顿（Hamilton）在19世纪开展的四元数便是复数的一种扩展，现在首要用于核算机图形学。
与复数有关的最重要前期发现或许是由欧拉（Euler）作出的，他证明晰复数与三角函数密切相关。这种相关让数学变得分外奥秘和诱人，它好像预示着数学蕴含着无限的能量。他先是引入了所谓的欧拉数，也便是天然常数e，并将它界说为：
欧拉数（天然常数）。
接着，欧拉便用一个恒等式，将e、i和三角函数联络到了一同。
欧拉将天然常数、虚数和三角函数结合到了一同。
研讨三次方程的含义还不只于此。研讨三次方程和其他多项式方程的解的曲面，直接导致了代数几许这一数学范畴的诞生。对数学感兴趣的人应该都知道，代数几许不仅仅一门重要的学科，并且它在核算机绘图、图画处理和图画识别等范畴都发挥着重要的效果，全部的这些技能都与核算机辅助设计、机器学习和人工智能有关。
除了这些运用价值之外，代数几许还有一个不得不提的严峻含义：在求解费马大定理的进程中，代数几许扮演者至关重要的人物。这个闻名的问题是在1637年由费马（Fermat, 1601-1665）提出的。费马大定理说的是，当n＞2时，这个方程没有正整数解。
费马大定理中所涉及到的方程。
费马自己证明晰n=4的状况，并希望能取得一个一般状况的证明。后来，欧拉证明晰n=3的状况。数百年来，在求解费马大定理的行进道路上诞生了许多巨大的数学。
1995年，数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）提出了终究的处理方案，为这个研讨了400多年的数学问题画上了完美的句号。
2.
在这500年不只见证了代数的革新，也见证了咱们对这个国际的运作机制的了解革新。为了处理那些物理问题，直接导致了微积分的创造。而微积分带来的不仅仅令人难以置信的数学开展，还有不计其数的广泛运用。能够说，没有微积分，或许就没有现代国际的全部科学与技能。
这场革新始于两个工作。
第一个工作是在物理学家研讨物体的运动时掀起的运动学革新。
1543年，哥白尼（Copernicus）宣布作品《天体运转论》，在这本书中，他推翻性地提出其时已知的6颗行星是绕着太阳公转的。当然，作为一个前期的日心说理论，它并不完美。
哥白尼的模型在1610年左右得到了“解救”，那时，开普勒（Kepler）宣布了闻名的三大运动规律。开普勒不仅仅一位天文学家，仍是一位出色的数学家，依据他的运动规律，咱们得知了：
全部行星都在以椭圆轨迹绕着太阳运动，太阳在椭圆的其间一个焦点上；
在相同的时刻内，行星所扫过的面积持平；
行星的运动周期的平方正比于椭圆长半轴的立方。
开普勒运动规律。
开普勒规律与观测成果彻底符合，其猜测也与伽利略（Galileo）用望远镜所观测到的共同，能够说，是开普勒规律让日心说得到了广泛的承受。
第二个工作是力学规律的发现。
伽利略是力学的前驱，他是第一个认识到物体在地球引力效果下会依照抛物线的途径移动，并且他还认识到全部惯性系都是等价的。1643年，在伽利略去的一年后，牛顿（Newton）出生了。
在牛顿的巨作《原理》中，他阐明晰力学三大规律，将力的效果与物体的运动联络了起来。在书中，牛顿还提出了万有引力规律，即在两个相距为r，质量分别为M和m的物体之间，其引力效果为
牛顿的万有引力规律。
牛顿的力学原理让他能够成功推导出开普勒的运动规律，为开普勒规律奠定了坚实的理论根底。依照希腊留下的传统，牛顿用几许学言语在《原理》中提出并证明晰这些成果。可是最开端，他是用微积分的办法推导出来的。
微积分是一门研讨事物怎么改变的学科，它有两个重要的概念，一个是导数，一个是积分。求导能够让你知道一条曲线的斜率，而积分能让你求得曲线下的面积。
微积分：微分（左）与积分（右）。
不过，微积分并不是牛顿一个人创造的，它的许多根本概念都是依据像沃利斯（Wallis）、笛卡尔（Descartes）、费马、开普勒等数学家的主意。此外，简直在与牛顿相同的时分，莱布尼茨（Leibnitz）也提出微积分的要害思维。
莱布尼茨用代数办法表述了这一主意，并引入了用于核算的现代符号，与牛顿的几许符号比较，莱布尼茨让微积分的运用变得简略了许多，导致微积分在欧洲大陆的迅速开展，当然也它导致了英国数学家和欧洲数学家之间的割裂。
在接下来微积分的开展中，欧拉成为了一个首要的领军人物。他不只创造晰微积分理论中的许多根本成果，并且还为它们找到了重要的运用。牛顿和莱布尼茨是经过调查当单个变量在改变时函数发作的改变而推导出了微积分。而欧拉将其扩展到调查一个函数在全部变量函数发作改变时，函数会怎么改变，这一概念叫做变分法。
1788年，法国数学家拉格朗日（Lagrange）将欧拉的主意进一步拓宽，并终究成为了现代物理学和工程学的中心。运用变分法，拉格朗日将得到了微分方程体系，这类体系的解描绘了体系的运动。开端，拉格朗日想用它们来研讨力学问题，但相同的办法也在描绘根本粒子（包括希格斯玻色子）的规范模型中运用。
另一个因这种办法获益的范畴是流体力学，这也是由欧拉提出的。在现代日常日子中，咱们每天都要用到欧拉方程来猜测未来的气候和气候。
尽管牛顿、莱布尼茨和欧拉都很喜爱运用微积分，并且它简直有无量的运用，但人们对它的根本界说仍有一些忧虑。直到19世纪，在柯西（Cauchy）对极限与无量大等问题打下坚实的根底之后，这些问题才真实得到处理。这远不止处理了微积分的一些技能性上的难题，还导致了数学中的剖析范畴的开展。
复剖析便是其间一个重要的比方，它是对复变量函数性质的体系研讨。这门学科在数论、流体力学、傅里叶剖析、信号处理、数值剖析、图形学以及数学、物理和工程的任何需求用到积分的范畴中都有重要运用。
牛顿在17世纪创造晰微分方程，到了18世纪，拉普拉斯（Laplace）进一步地推动了它的开展，之后，人们便以为微分方程是描绘实际国际运转办法的最佳办法了。以二阶微分方程为例，这是些看起来简略，却难以准确求解的微分方程。尽管无法做到准确求解，但咱们能够经过两种办法来得到解析表达式。
首要便是用几许办法求解，这种技能是在19世纪末由法国数学家庞加莱（Poincare）创始的，它十分强壮，导致了求解微分方程的动力体系理论的发生，其间的一个重要成果便是现代混沌理论。
微分方程的几许理论，直接导致了混沌理论的呈现。
第二种办法是要依托强壮的核算机算法来求出近似解，这种办法能让你控制想抵抵达的精度水平，具有很强的洞察力和猜测才能。
3.
假如有人问这500年来哪个数学范畴是最有用的，那么答案或许是线性代数，它是许多工程学、物理学、乃至商业等范畴的数学柱石。没有线性代数，咱们就无法飞翔，也无法猜测经济、气候，乃至无法运营工厂、在线购物等。线性代数核算是全国际各地的核算机每天都要进行的大部分核算，它是互联网背面的动力。只可惜，它在数学范畴的魅力并不那么为大众所知。
早在16世纪，线性代数就涉及到求解具有多个变量的方程问题。前文说到的三次方程和和二次方程都只涉及到一个变量x，假如咱们有两个变量x和y那又会怎么样？举个比方，爸爸比儿子大32岁，现在他们一共86岁，求他们现在各自多少岁。
这是一个咱们能够容易揭开的小学运用题，最直接的办法是设两个未知数：爸爸x岁，儿子y岁，从方程组x - y = 32和x + y = 86中算得答案。
尽管上面的办法能够轻松地处理这个问题，但它很难将其推行运用于处理包括更多未知数的问题。要做到这一点，咱们就需求矩阵和线性代数了。这些问题背面的数学原理是于19世纪由凯利（Cayley）开展的，其时他在考虑怎么让一组数字线性映射到另一组数字。咱们再以上面的年纪问题为例，假入咱们设x - y=a, x + y = b，那么这就等于完成了从 (x,y) 到 (a,b) 的映射。凯运用矩阵方程的办法来表明这种映射。
用矩阵来表述方程求解问题。
这儿的A是一个2x2的矩阵，这种办法的矩阵方程在几许中表明平面的改换。3x3的矩阵则能够代表了在空间中的改换，这正是核算机图形学中用来履行动画的矩阵方程。4x4的矩阵则能够表明时空的改换，这便是狭义相对论的数学根底。
经过矩阵求逆，咱们能够得到问题的解：
经过矩阵求逆来求解。
A??是矩阵A的逆矩阵。相同的办法乃至能够用于处理含有数十亿个未知数的问题。这一进程也成为了现代科学与技能得以呈现和开展的一个严峻条件。时至今日，科学家与数学家仍在尽力开展用于求解矩阵求逆的算法，以更高效地处理咱们社会所面对的许多日常问题。
4.
数学在核算机算法中的运用或许能让咱们在实际国际中最直接地感受到数学的强壮。算法描绘的是一个为给定问题给出处理方案的进程。
实际上，最早的算法是用来求解咱们在一开端说到的多项式方程的。比方咱们想求解二次方程x?= 2的解，但不知道√2的值，所以就需求开发一个算法来找到它。这种算法是由巴比伦人创造的，他们以为比x更能更好地近似√2的表达式是
比方你能够以x=1开端，将数字代入之后所得到的数字再次代入这个式子中，不断迭代，这样就能得到一系列值
牛顿推行了这一概念，因而当咱们需求找到方程f(x) = 0，那么能够测验近似
当不断重复这个进程，xn的值就会越来越挨近真实的解。
很多在数学上的研讨发生了许多强壮的可用于处理其他问题的算法。可是假如没有巴贝奇（Babbage）、拉夫莱斯（Lovelace）、图灵（Turing）、冯·诺依曼（von Neumann）这些数学家大力推动了核算机的开展，或许咱们不会感受到这些算法的价值。例如用核算机来求解微分方程便是算法在发挥效果的一个比方。
实际上，整个现代电子工业，特别与信号、音乐和视频相关的部分，都严峻依赖于快速傅里叶改换（FFT）算法。FFT答应一个信号能分解成构成了它的谐波，它具有无量多的运用。能够说，这是一个由数学导致了整个职业的发生的经典比方。
算法的另一个重要范畴是要让对未来的猜测与当时和曩昔的观测共同。咱们的手机、GPS导航设备、飞机和火车控制体系等许多体系都严峻依赖于这种算法。在这些运用中，运用了很多贝叶斯定理的卡尔曼滤波器是其间的要害，当有新的数据传入时，它能体系地依据新的数据更新对体系状况的估量。假如没有卡尔曼滤波，咱们就不或许抵达月球，也无法控制任何现代控制体系。
5.
咱们正在见证数学范畴变得越来越活泼，它好像蕴含了巨大的能量，这股能量导致一些严峻难题得到了处理，比方费马大定理和庞加莱猜测，一起也提出的许多新的和具有应战性的问题。别的，数学和核算机的交融让数学家能够处理愈加杂乱的问题，并且在研讨极度困难的问题时也能具有实验性和创造性。除此之外，数学的运用简直在呈指数级增加。
从前，人们仍是倾向于以为数学范畴仅仅十分朴实和理论的，现在咱们却发现了它无量的运用潜力。在未来的几年里，这张运用列表中的内容会以更快的速度增加，咱们好像现已能够预见一个令人激动的数学未来。
所以咱们现在正处在数学的黄金时代吗？我想是的。
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