与费尔马猜测时隔三个半世纪以上才被处理，哥德巴赫猜测历经两个半世纪以上耸峙不倒比较，黎曼猜测只要一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超越这两个群众知名度更高的猜测。黎曼猜测是当今数学界最重要、最等待处理的数学难题。
费马大定理和她的终究证明者怀尔斯
黎曼（1826-1866）是历史上最具想象力的数学家之一。
1
2000年5月24日，美国克雷数学研讨地点法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具颤动性的决议：为每个难题建立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学开展发生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥遥相对的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的当地，那便是在所罗列的问题之中，有一个且只要一个难题是一同的。
那个难题便是“黎曼猜测”。
黎曼猜测望文生义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座现在归于德国，其时归于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通讯院士。作为对这一崇高荣誉的报答，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只要短短八页的论文便是黎曼猜测的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研讨的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的散布。素数是像2、5、19、137那样除了1和本身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研讨中有着极大的重要性，由于一切大于1的正整数都能够表明成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的方位相似于物理国际中用以构筑万物的原子。素数的界说简略得能够在中学乃至小学课上进行教学，但它们的散布却奇妙得与众不同，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。
哥特式数学殿堂--哥廷根大学
黎曼论文的一个严重的效果，便是发现了素数散布的奥妙彻底蕴藏在一个特别的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特别的点对素数散布的详尽规则有着决议性的影响。那个函数现在被称为黎曼ζ函数，那一系列特别的点则被称为黎曼ζ函数的非普通零点(下文中有时将简称其为零点)。
有意思的是，黎曼那篇文章的效果尽管严重，文字却极为简练，乃至简练得有些过火，由于它包括了许多“证明从略”的当地。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省掉那些清楚明晰的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的当地有些花费了后世数学家们几十年的尽力才得以补全，有些乃至直到今日仍是空白。
2
黎曼为何需求把那么多并非清楚明晰的证明从略呢？或许是由于它们关于他来说的确是清楚明晰的，或许是由于不想花太多的时刻来编撰文章。但有一点根本能够确认，那便是他的“证明从略”绝非相似于狡猾学生蒙混考试的做法，并且很或许也并非是把过错证明当成正确的盲目达观——后者在数学史上不乏先例，比方法国数学家费尔马在写下费尔马猜测时所表明的“我发现了一个真实超卓的证明，惋惜页边太窄写不下来”就根本已被数学界认定是把过错证明当成正确的盲目达观。由于人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多从略了的证明是做过厚实研讨的，并且那些研讨的水平之高，乃至在时隔了几十年之后才被整理出来，也往往仍具有极大的抢先性。
但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却有目共睹地包括了一个他清晰供认了自己无法证明的出题，那个出题便是黎曼猜测。
代数几许——面临黎曼猜测的强有力东西
那么，黎曼猜测终究是一个什么猜测呢？简略地说，是一个关于咱们
前面说到的，对素数散布的详尽规则有着决议性影响的黎曼ζ函数的非普通零点的猜测。关于那些非普通零点，简单证明的效果只要一个，那便是它们都散布在一个带状区域上，
但黎曼以为它们的散布要比这个简单证明的效果整齐得多，他猜测它们全都坐落该带状区域正中央的一条直线上，这便是所谓的黎曼猜测。而这条被猜测为包括黎曼ζ函数一切非普通零点的直线则被称为临界限。
黎曼猜测自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座高耸的山峰，招引了无数数学家前去攀爬，却谁也没能登顶。
当然，假设仅从时刻上比较的话，黎曼猜测的这个纪录跟费尔马猜测时隔三个半世纪以上才被处理，以及哥德巴赫猜测历经两个半世纪以上耸峙不倒比较，还差得很远。但黎曼猜测在数学上的重要性却要远远超越这两个群众知名度更高的猜测。有人计算过，在当今数学文献中已有超越一千条数学出题以黎曼猜测(或其推行方式)的成立为条件。假设黎曼猜测被证明，一切那些数学出题就全都能够荣升为定理；反之，假设黎曼猜测被否证，则那些数学出题中最少有一部分将成为陪葬。一个数学猜测与为数如此许多的数学出题有着亲近相关，这是极为罕有的。
黎曼论文手稿
3
不过，数学家们攀爬黎曼猜测这座高耸山峰的尽力尽管迄今没能取得彻底成功，在这过程中却也取得了一些阶段性效果，好比是扎下了几座营寨。
这其间第一个阶段性效果呈现在黎曼猜测面世三十七年后的1896年。咱们在前面说到过，关于黎曼ζ函数的非普通零点，简单证明的效果只要一个，那便是它们都散布在一个带状区域上。那个阶段性效果是什么呢？便是将那个带状区域的鸿沟除掉掉了——也便是说，黎曼ζ函数的非普通零点只散布在带状区域的内部，不包括鸿沟。这个效果是由法国数学家哈达玛与比利时数学家普森互相独登时给出的。
粗看起来，这似乎是很微乎其微的效果，一个带状区域的鸿沟跟它的内部比较，从面积上讲份额其实便是零。但是别小看了这个效果，它关于研讨黎曼猜测来说仅仅一小步，关于研讨另一个数学猜测来说却是巨大的腾跃，由于它直接导致了后者的证明。那个数学猜测现在已被称为素数定理，它所描绘的是素数的大范围散布规则。素数定理自被提出以来悬而未决已超越一百年，在其时乃是一个比黎曼猜测更令数学界等待的东西。
在上述效果之后又隔了十八年，1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性效果，那便是证明晰黎曼ζ函数的非普通零点倾向于“紧密团结”在临界限的周围。这个效果用数学言语来说，便是包括临界限的不管多么窄的带状区域都包括了黎曼ζ函数的简直一切非普通零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一效果却不足以证明任何一个零点刚好就在临界限上，因而它间隔黎曼猜测的要求仍然相差很远。
列夫·达维多维奇·朗道(Lev Davidovich Landau，1908-1968)，苏联犹太人，声称国际上终究一个万能的物理学家。
但就在那同一年，另一个阶段性效果呈现了：英国数学家哈代总算将“红旗”插上了临界限——他证明晰黎曼ζ函数有无量多个非普通零点坐落临界限上。粗看起来，这似乎是
一个非同寻常的效果，由于黎曼ζ函数的非普通零点一共便是无量多个，而哈代现已证明晰无量多个零点坐落临界限上，从字面上看，两者简直如出一辙了。惋惜无量大是数学中一个很奇妙的概念，同样是无量大，互相却未必是一回事，不只未必是一回事，简直能够要差多远就差多远，乃至差无量远！因而，为了知道哈代的效果离黎曼猜测的要求还有多远，咱们应该更详细的效果。
哈代，在20世纪上半叶建立了具有国际水平的英国剖析学派。
那样的详细效果呈现在七年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家李特伍德协作，对自己七年前那个效果中的“无量多”做出了详细估量。那么，依照这个详细的估量，那坐落临界限上的“无量多个非普通零点”跟悉数非普通零点比较，终究占多大的百分比呢？答案或许懊丧得出乎读者们的预料：百分之零！
数学家们将这个百分比推动到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。那一年，挪威数学家赛尔伯格证明晰这个百分比大于零。
赛尔伯格做出这项效果时正值第二次国际大战的硝烟在欧洲各地充满，他地点的挪威奥斯陆大学简直成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。但赛尔伯格不在乎，他表明“这就像处在一座监狱里，你与世隔绝了，但你明显有机会把注意力会集在自己的主意上，而不会因其别人的所作所为而分神，从这个意义上讲我觉得那种景象关于我的研讨来说有许多有利的方面”。他很好有利地势用了那“许多有利的方面”，孤单地进行着“一个人的战役”，并终究取得了效果，他的效果是如此明显，以至于玻尔在战后曾戏说战时整个欧洲的数学新闻能够归结为一个词，那便是：赛尔伯格。
不过赛尔伯格尽管证明晰那个百分比大于零，却并没有在论文中给出详细数值。在赛尔伯格之后，数学家们开端这一份额的详细数值进行研讨，其间以美国数学家列文森的成
果最为明显，他证明晰至少有34%的零点坐落临界限上。
列文森取得这一效果是在1974年，那时他已年过花甲，并且即将走到生命的止境(他第二年就逝世了)，却仍然坚强地从事着数学研讨。在列文森之后，这方面的推动变得非常缓慢，几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章，这中心还包括我国数学家楼世拓与姚琦(他们于1980年证明晰至少有35%的零点坐落临界限上)。直到1989年，才有人撼动百分比的第一位数字：美国数学家康瑞(Brian Con-rey)证明晰至少有40%的零点坐落临界限上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜测研讨中——现在最强的效果。
美国数学家Brian Con-rey
别的值得一提的是，“黎曼猜测”这一金字招牌后来被推而广之，用来表明一些“山寨版”和“豪华版”的猜测。那些猜测为什么能跟黎曼猜测同享招牌呢？那是由于它们跟黎曼猜测有极大的相似性，比方都有一个跟黎曼ζ函数相相似的函数，那个函数具有与黎曼ζ函数相相似的性质，等等。在那些猜测中，“豪华版”黎曼猜测乃是一些比黎曼猜测更强(即把黎曼猜测包括为特例)的猜测，它们跟黎曼猜测相同，迄今没有得到证明(这是明显的，不然的话黎曼猜测也就被证明晰)。但“山寨版”黎曼猜测却已悉数得到了证明。
放下咱们所取的不悦耳的绰号不管，它们的证明乃是数学上的严重效果，既催生过新数学方法的诞生，也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖。并且，“山寨版”黎曼猜测作为仅有挂着黎曼猜测这一金字招牌却被证明晰的猜测，曾使人们对久攻不下的黎曼猜测也一度达观起来。惋惜参考之资，并不总是能够攻玉的。从现在的状况去看，“山寨版”黎曼猜测就能在“山寨”里玩，它们的证明尽管重要，关于处理真实的黎曼猜测却并无实质性的启示。
4
或许在许多人眼里，数学是一门很单调的学识，数学家们则是一群性情庸俗的怪人。但实践上，赋有才智的人往往是不会真实庸俗的，数学家们也是如此，他们在静心演算的勤奋之外，也给咱们留下了许多共同的诙谐。
匈牙利数学家波利亚从前讲过一个跟黎曼猜测有关的小故事，故事的主角便是咱们前面说到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。这两位在黎曼猜测研讨中做出过效果的数学家当然都对黎曼猜测怀有浓厚兴趣。
有一段时刻，哈代常常使用假日拜访玻尔，一同评论黎曼猜测，直到假日将尽才仓促赶回英国。效果有一次，当哈代又有必要仓促赶回英国时，很不幸地发现码头上只剩下一条小舟能够乘坐了。从丹麦到英国要跨过几百公里宽的北海，在汪洋大海中乘坐小舟可不是闹着玩的作业，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的安全，信仰天主的乘客们大都忙着请求天主的保佑。哈代却是一个坚决不信天主的人，非但不信，乃至还成心跟天主刁难：把向群众证明天主不存在列入自己某一年的年度愿望之一。不过在生死攸关的旅程面前哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简略的明信片，上面只写了一句话：“我现已证明晰黎曼猜测”。
阿提亚爵士，运用量子力学处理黎曼猜测，惋惜是个好心的过错。败给了年岁......
哈代果然证明晰黎曼猜测吗？当然不是。他为何需求发这么一张忽悠搭档的明信片呢？当他安全抵达英国后他向玻尔解说了原因。他说假设那次他所乘坐的小舟果然淹没了的话，那句话就会变得死无对证，人们就只好信任他的确证明晰黎曼猜测。但是他知道天主是绝不会甘愿让他这样一个坚决不信天主的人取得如此巨大的荣誉的，因而它必定不会让小舟淹没的。
哈代用自己的诙谐成为了故事主角，有些数学家则是由于其他数学家的诙谐而被动地成为了故事主角，咱们前面说到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森便是如此。这两人成为主角的原因咱们恐怕是猜不到的，那是由于他们的长命：哈达玛享年98岁，普森活到96岁。这两个令人眼红的岁数不知从何时开端引发了一个传说，那便是谁要是能证明黎曼猜测，他就能永存——不是笼统意义上的永存(那是毫无疑问的)，而是实践意义上的永存(即长生不老)！不过这个传说看来是没有关心到玻尔和兰道，他们的研讨效果可比哈达玛和普森的强多了，照说最少也该混个百岁老人当当吧。效果呢？兰道只活了61岁，玻尔稍胜一筹，也只要63岁。
或许是意识到这个传说缝隙太大，数学家们又把诙谐指向了另一个方向：出生于波兰的数学家欧德里兹科提出了一个彻底相反的说法，那便是：谁要是否证了黎曼猜测，他就会马上死去！欧德里兹科乃至恶作剧说其实黎曼猜测现已被否证了，只不过那个否证了黎曼猜测的倒霉蛋没来得及发表文章就死去了。
当然，这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。不过，一个极度通俗的东西对投入得过深的人发生健康方面的影响，却是不无或许的。数学界也的确有人猜测，黎曼猜测的极度通俗有或许对单个数学家的健康发生过影响。比方盛行列传《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什曾在二十世纪五十年代后期研讨过黎曼猜测，在那之后不久就患上了精神分裂症。纳什患病的原因一般以为是参加军方作业所引致的心理压力，但也有人以为他轻率去啃黎曼猜测那样的坚果，对他的病症开展有或许起到过火上加油的效果。
5
现代数学界最重要的数学猜测
黎曼猜测能够说是当今数学界最重要、并且是数学家们最等待处理的数学猜测。美国数学家蒙哥马利从前表明，假设有魔鬼容许让数学家们用自己的魂灵来交换一个数学出题的证明，大都数学家想要交换的将会是黎曼猜测的证明。
在探究黎曼猜测的过程中，许大都学家从前满怀决心，逐渐地却被它的通俗所轰动，情绪转为了失望。咱们前面说到过的李特伍德便是一个比如，当他仍是学生的时分，他的导师就随手把黎曼ζ函数写给了他，让他使用暑假时刻研讨它的零点方位。初出茅庐的李特伍德也不妥回事地领命而去。后来他与哈代倒也果然在这方面做出了效果。但逐渐地，他的情绪发生了改变，乃至表明：“假设咱们也能够坚定地信任这个猜测是过错的，日子会过得更舒适些”。
从前在“山寨版”黎曼猜测研讨上做出过效果的法国数学家韦伊也有过相似的情绪改变。当他在“山寨版”黎曼猜测研讨上做出效果时，曾像一些其别人相同对处理黎曼猜测燃起了决心，表明假设自己证明晰黎曼猜测，会成心推迟到猜测提出100周年(即1959年)时才发布——言下之意，自己不迟于1959年就有或许处理黎曼猜测。不过，年月逐渐磨去了他的达观，他晚年时曾对一位友人供认，自己有生之年不太或许看到黎曼猜测的处理。
二十世纪的巨大数学家 希尔伯特
就连本文最初说到的那位德国数学大师希尔伯特，他对黎曼猜测的观点也阅历了从达观到失望的改变。在1919年的一次讲演中，希尔伯特曾表明晰自己有望见到黎曼猜测的处理，但后来他的情绪明显地转为了失望。听说有人从前问他：假设他能在五百年后重返人世，他最想问的问题是什么？他回答说最想问的便是：是否现已有人处理了黎曼猜测？
