在市场上，我们经常看到这样的瓶子，它的名字叫克莱因瓶。
但其实这并非是真正的克莱因瓶，在我们生活的世界里永远也不可能存在真正的克莱因瓶，因为克莱因瓶在真实的生活中永远也不可能被造出来。
什么是克莱因瓶
在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。它最早是著名数学家菲立克斯·克莱因提出来的，但是克莱因的本意是， “Kleinsche Fl che”，也就是克莱因平面，没有内部外部之分，但是后来传成了克莱因瓶。
克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。正是因为如此，克莱因瓶是永远装不满水的。
克莱因瓶在真实的生活中是无法实现的，现在我们所看到的克莱因瓶其实都是假货，你会发现我们看见的克莱因瓶必然跟自身相交，用数学的语言说，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入（immersion）。
但事实上真正的克莱因瓶，它的瓶颈是通过第四维和瓶底相接的，并不需要穿过自身，并不会和自身相交。我们大家可以看到它的定义“无定向性的平面”，这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。
这是一个三维概念物，所以它只能存在于四维空间，是不可能嵌入三维空间中的，如果我们肯定要将它展现在三维空间的话，它的瓶颈只能穿过自身，这是三维空间无法顺利表达它的妥协之举，但这就违反了克莱因瓶的定义，所以市场上的克莱因瓶都是假的。
真正的克莱因瓶因为是通过第四维和瓶底相接，所以它永远也不可能被装满，即使你将大海放进去，也是一样。
如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环，公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现，把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质，这就是莫比乌斯环。
在我们三维的世界里，一张纸有两面，但是对于二维世界的生物来来说，它就平面里，没有两个面。
在我们眼中，蚂蚁会爬过连成一体的两个面，才能回到原点。这时候蚂蚁不用翻越纸的边缘，它可以爬行的距离增加了一倍。
但是对于一只生活在平面内部的二维蚂蚁，它的空间并没有增加，只是被扭曲，然后连接起来了。
所以，这只二维蚂蚁只需要爬行一周，就可以回到原处，这只蚂蚁同样不理解为什么三维世界的蚂蚁爬行的距离增加了一倍。
如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。
所以，这对于二维空间的“生物”来说他们不能理解空间被扭曲这一事实，当然对我们三维空间中的人类来说，我们同样不能理解我们的空间正在通过额外的维度对接到自身的内部。
什么是四维空间
四维空间和四维时空并不是一个概念，四维空间我们一般是指标准欧几里得空间；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体能够理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。
零维是点，没有长度、宽度及高度。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有其中的宽度、高度。二维是由无数的线组成的面，有长度、宽度没有高度。三维是由无数的面组成的体，有长度、宽度、高度。
因为人的眼睛只能看到二维，二维生物看对方只有一条线。人的双眼看到的是两个二维投影，经过大脑处理形成一个整体的视觉。也就是说人类只能看见二维图像，却能理解这样一个世界是三维的。
因为构成三维的三元素是长宽高，即三个互相垂直的直线，我们单眼看世界的时候，上下是高，左右是宽，所以看到的世界是二维的。
有人会说人有两只眼睛可以判断远近，这是不是构成三维视觉？不是的，两个视网膜看到的是两个二维平面，加起来只是一个更大的二维平面，而大脑通过两个图像的细微差别脑补出了远近信息。
我们眼睛去看这样一个世界，产生的画面远近是不同的，通常是右远左近，但不绝对，而正是这个距离感的产生，弥补了三维需要的长，所以我们才能理解这样一个世界是三维的。
克莱因瓶的意义
所谓的“克莱因瓶”却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。
在拓扑学中，克莱因瓶定义为正方形区域 [0,1]×[0,1] 模掉等价关系(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。类似于 Mobius Band, 克莱因瓶不可定向。但 Mobius 带可嵌入 R^ 3，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间，从数学意义上解释了为什么在现实中无法造出克莱因瓶。
克莱因瓶促进了拓扑学的发展，甚至对物理也产生了一定的影响，比如时空克莱因瓶上的热力学，对于人类探索更高维度空间起到了重要的意义。
